排列组合及概率-无本上岸

一、排列组合

定义及公式

1、排列的定义：从n个不同元素中，取m个进行排序（有顺序），所有的情况数可记为 $A_{n}^{m}$ ；

2、排列的计算公式： $A_{n}^{m}$ =n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)

例如：从7人中选4人站排，所有情况= $A_{7}^{4}$ =7×6×5×4

3、组合的定义：从n个不同元素中，取m个（无顺序），所有的情况数可记为 $C_{n}^{m}$ ;

4、组合的计算公式： $C_{n}^{m}$ = $\frac{A_{n}^{m}}{m!}$ = $\frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - m + 1)}{m (m - 1) (m - 2) . . .2 \times 1}$

例如：从7人中选3人出席活动，所有情况= $C_{7}^{3}$ = $\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

💡 拓展

① $C_{5}^{5}$ ＝ $C_{6}^{6}$ ＝ $C_{7}^{7}$ ＝ $C_{m}^{m}$ ＝1② $C_{5}^{2}$ ＝ $C_{5}^{3}$ ， $C_{7}^{2}$ ＝ $C_{7}^{5}$ ， $C_{n}^{m}$ ＝ $C_{n}^{n-m}$ ，可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

”分类“与”分步“

1、加法原理（分类计算）：完成一件事有若干互斥的方法，每种方法均可独立完成任务。（一句话总结：多选一，各走各的路，最后把路数加起来）

例如：从北京到上海可选择飞机（3班）、火车（5趟）、汽车（2班），则总共有3 +5 +2 = 10 种方式。因为你只能选一种交通方式。

2、乘法原理（分步计算）：完成一件事需多个步骤，每一步的结果对后续步骤有影响。分步计算是有序的，因为乘法原理基于步骤的先后顺序。（一句话总结：一步一步来，每一步都影响下一步，最后把步数乘起来）

例如：从北京到上海有3种方式，再从上海到广州有4种方式，则总行程有 3 × 4 = 12 种组合。因为北京到上海相当一条“分支”，上海到广州又是一条“分支”，所以要乘。

3、综合应用示例：从5男4女中选3人组成委员会，要求至少1男1女，有多少种选法？

解法一：分类讨论。选3人，要求至少1男1女，可能的情况为1男2女，2男1女。
1. 1男2女： $C_{5}^{1}$ × $C_{4}^{2}$ =5×6=30
2. 2男1女： $C_{5}^{2}$ × $C_{4}^{1}$ =10×4=40
3. 分类用加法，总共30+40=70种
解法二：逆向思维。要求至少1男1女的对立面为全男或者全女，则总选法减去全男或全女。
1. 总选法： $C_{9}^{3}$ =84
2. 全男： $C_{5}^{3}$ =10
3. 全女： $C_{4}^{3}$ =4
4. 符合条件数：84-10-4=70种

4、解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。

💡 消序原理

用于解决排列组合时需要去除因“顺序”而产生的重复计数的一种方法。使用组合不会产生重复计算；但使用排列或分步计数，若发现对象相同或顺序无关，则需要除以全排列以消除顺序影响。要除序的情况分为以下几种：
定序除序：5个人排队，女生2人男生3人；女生由高到低排；一共有多种排列方法？
1. 先整体考虑5个人全排列 $A_{5}^{5}$ =120种。
2. 2个女生因定序（高到低）而产生的除序数 $A_{2}^{2}$ =2(两个女生的全排列)。
3. 因女生排列顺序题中规定了只能由高到低只有1种排序法。而在 $A_{5}^{5}$ 全排列中，两个女生的排法实际上是两种：①高低 ②低高两种排序法，故产生除序数 $A_{2}^{2}$ 。故为了消除多考虑的排法，因而要除序。因此总排法=120÷2=60种。
4. 这里也可以边选边排法，想像将5个人按排到5个座位上。先从5个空位中选出3个空位给男生 $C_{5}^{3} A_{3}^{3}$ =60种。再将余下的2个空位安排给女生 $C_{2}^{2} A_{1}^{1}$ =1种。（说明：2个空位都选，由于女生身高由高到低排，故排列数方式只有1种）。由分步乘法原理可知：总排法=60×1=60种。
相同除序：相同的黑球2个，相同的白球2个，相同的红球2个，共6球放入6个不同的盒子，每个盒子至多放一个，多少种放法？
1. 若先考虑球不同，总共有 $A_{6}^{6}$ 排法，相同的元素不存在排序问题，怎么排都只有一种。比如黑球A、B，其中（A,B,0,0,0,0）、（B,A,0,0,0,0）这两种其实是一种放法。因此每种球都会产生除序数，总共三个除序数 $A_{2}^{2} \times A_{2}^{2} \times A_{2}^{2}$ 。总共排法 $\frac{A_{6}^{6}}{A_{2}^{2} \times A_{2}^{2} \times A_{2}^{2}}$ =90
2. 这里也可以边选边排法，再从6个盒子先两个空位，将2个黑球安排进去，因为两个黑球相同，不需要排列，有 $C_{6}^{2}$ ，白球红球同理。最终方法= $C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}$ =90
均分除序：将6人分成3组，每组2人。 将若干对象分成若干组，若各组没有编号或标签（即组与组之间没有顺序）
1. 先按有序分组： $C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}$ =90种，但分组顺序不影响结果（如选出 AB、CD、EF 与选出 CD、AB、EF 是同一分组），故需除以产生的除序数 $A_{3}^{3}$ =6，得90÷6=15种。

特殊解题方法

1、捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列 $A_{4}^{4}$ =24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即 $A_{2}^{2}$ × $A_{2}^{2}$ =4，所以24×4=96种，

（1）第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。

（2）第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。

（3）第三步：由于两个被“捆绑”的元素内部也有排列，最后要“解绑”，把捆绑的元素内部排列(即几个元素就A几几)。

例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种

2、插空法：解决元素不相邻问题。

分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，分步进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空， $C_{5}^{3} = 10$ ，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

（1）第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。

（2）第二步：再找出能够插入的空位。

（3）第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。

例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?(

3、插板法：

分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有 $C_{6}^{3}$ =20

（1）题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个

（2）解题方法：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有 $C_{n - 1}^{m - 1}$ 种分法。

（3）原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。

（4）注意：若要求 “每人至少分a个”，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有 $C_{n - a m + m - 1}^{m - 1}$ 种分法。

例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法

4、错位排列：

（1）比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。题型识别：元素发生错位，不能回到原来的位置。如停车场有三个家庭对应的3个车位，现在要求各家的车不能停到自己家的车位上，在这个问题中，3辆车不能停到对应的位置上，相当于元素不能回到对应的位置上

（2）首先我们分析，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事

（3）若有2个班级，那么我们设为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假设你是B班班主任只能去A班，因此有1种方式完成此事;

（4）继续假设若有3个班级分别是A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）

（5）但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了

（6）公式： $D_{n} = (n - 1) (D_{n - 1} + D_{n - 2})$

（7）只需要记住n=1、2、3、4、5、6取值，表如下：

n	1	2	3	4	5	6
$D_{n}$	0	1	2	9	44	265

5、环形排列：

分析：带入公式 $A_{5 - 1}^{5 - 1}$ =24种方法

（1）问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法？计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种

（2）使用公式： $\frac{A_{n}^{n}}{n}$ = $A_{n - 1}^{n - 1}$ （注意：安排n人围坐圆桌，若把人分配到不同编号的座位，是不需要考虑旋转导致的重复，此时是全排列 $A_{n}^{n}$ ）

例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法

6、枚举法：当情况数较少时，利用枚举，不重复不漏掉，又不会耗费太多时间。

分析：按照从小到大的顺序一一枚举出答案（123、132、213、231、312、321）。

例子：用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？

二、概率

1、定义：概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；

2、公式：某种情况发生的概率(P)= $\frac{满足条件的情况数}{总的情况数}$ = 1 – 某种情况不发生的概率（从公式出发也不难看出，排列组合就是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；）

例：一个袋子里有 3 个红球、2 个蓝球，随便摸一个，摸到红球的概率是多少？红球数 ÷ 总球数 = 3÷5 = 0.6。

3、注意：

（1）遇到正向情况较复杂的，可以逆向来计算；即某种情况发生的概率=1 – 某种情况不发生的概率（2）可能会考察几何概型。即P= $\frac{发生的所有可能结果所组成面积 / 长度 / 体积}{总区域测度}$

4、独立重复试验的概率问题：如每次抛硬币，正面的概率都是 50%，反面也是 50%。每次抛前一次的结果不影响后一次（比如第一次是正面，第二次还是50%可能为正面）。

问：抛 2 次硬币，两次为正面的概率为多少？【在数学上，“且”对应乘法（前提是事件相互独立，抛硬币就是独立的）。第一次正面的概率 = 50%，第二次正面的概率 = 50%，那么同时成立： 50%× 50% = 25%。为什么不是加法？因为如果是加法，50%+50%=1，那就变成“必然发生”了，显然错。加法意味着“或”，不是“且”。】
问：抛2次，至少一次正面的概率？【需要分析出现的种类，正反或反正或正正（多个不同情况，满足任一即可）。正反的概率=50%×50%=25%，反正的概率=50%×50%=25%，正正的概率=50%×50%=25%，那么至少一次正面的概率=三者相加=25%+25%+25%=75%】
总结：独立重复试验的概率问题也是符合排列组合中的”分类“与”分步“。

①用乘法：一条路上的每一步都要成功 → 每一步概率相乘。②用加法：多条不同的路，走任意一条都算成功 → 每条路的概率相加。

💡 拓展：跟屁虫原理

1、题型判定：在概率问题中出现

（1）同一行；（2）同一班次；（3）同一组；（4）不同组；（5）圆周相邻或不相邻等情况。

2、解题思路：第一个元素随便放，只考虑第二个元素相对于第一个元素的位置。

例1：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后）参加，随机围坐在篝火四周，则国王和王后恰好坐在一起的概率是多少？
分析：题目问“坐在篝火四周”、“坐在一起”，那就是圆周相邻。根据跟屁虫原理，先让国王随便入座，还剩余99个座位，若要和国王相邻，只有国王的左边和右边两个位置；一共99个座位只有2个座位是相邻的，所以概率为 2/99。
例2：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后和王子）参加，随机围坐在篝火四周，国王和王子需要坐一起，则王后和国王恰好坐在一起的概率是多少？
分析：根据跟屁虫原理，第一个元素随便放，这里的第一个元素是指“国王和王子需要坐一起”，先让国王随便入座，王子在与国王相邻，此时剩余98个座位，若王后要和国王相邻，国王旁边只有1个位置相邻，因为旁边坐了一个王子；一共98个座位只有1个座位是相邻的，所以概率为 1/98。

三、随笔练习

例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

A.43200B.7200C.450D.75

解析

先安排有要求的专家，再安排没有要求的专家，即分步进行安排即可。首先安排需要住二层的人，从 5 间二层房间中选出 4 间，安排 4 名专家的方法有 $A_{5}^{4}$ 种；再安排需要住一层的人，从 5 间一层房间中选出 3 间，安排 3 名专家的方法有 $A_{5}^{3}$ 种；最后安排剩下的 3 人，无任何要求，安排方法有 $A_{3}^{3}$ 。分步用乘法，安排方法共有 $A_{5}^{4} \times A_{5}^{3} \times A_{3}^{3} = 43200$ 种。故正确答案为 A。

例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（）

A.小于 1000B.1000 ～ 5000C.5001 ～ 20000D.大于 20000

解析

3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。可先对每个部门内部的选手进行排列，然后将 3 个部门的顺序进行排列。则总共的排列顺序有： $A_{3}^{3} \times A_{2}^{2} \times A_{4}^{4} \times A_{3}^{3}$ = $6 \times 2 \times 24 \times 6 = 1728$ 种，属于1000 ～ 5000 的范围。故正确答案为 B。

例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?

A.78B.96C.112D.146

解析

先从8个人中确定5个人坐对位置，有 $C_{8}^{5}$ 种情况；然后，剩余3个人坐错位置，相当于3个元素的错位重排，根据上述结论，有 $D_{3}$ 种情况。分步相乘，则恰好有3个人坐错位置的情况一共有 $C_{8}^{5} \times D_{3} = 56 \times 2 = 112$ 种，故选C。

例4：(2018贵州选调)某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：

A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6

解析

满足“周五至周日期间连续两天参加联谊会”的情况数为2种，即周五周六、周六周日参加联谊会；
总情况数为在本周一至周日连续七天内选择连续两天参加联谊会，有6种情况（即周一周二、周二周三、周三周四、周四周五、周五周六、周六周日6种情况）。
故概率P=2/6=1/3

例5：(2018四川自贡事业单位)5人相约一起去看电影，已知5个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（）种坐法。

A.18B.28C.36D.42

解析

根据题意，“甲、乙、丙三人必须挨在一起”，可知本题为利用捆绑法解题的排列组合问题。将甲乙丙捆绑在一起作为一个整体，然后再与剩余的2人进行排列有 $A_{3}^{3}$ 种方法，再考虑甲乙丙捆绑内部顺序有 $A_{3}^{3}$ 种方法，因此有6×6=36种坐法。故正确答案为C。

例6：(2020云南)某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

A. 35种B. 70种C. 96种D. 114种

解析

所问为每个路口协管员名额的分配方案有多少种，则只需要考虑每个路口分配的人数是多少，不需要考虑到底分配哪个协管员。
根据插板法：m个相同元素分成n组，每组至少1个，则分配情况有 $C_{n - 1}^{m - 1}$ 种，题干可以理解为8个相同的名额分成4组，每组至少1个名额，则所求为 $C_{7}^{3}$ =35种
故正确答案为A。

例7：(2017国考) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

A.低于 20%B.在 20%~30% 之间C.在 30%~35% 之间D.大于 35%

解析

5个人任意分配到5个分公司的总情况数为 $A_{5}^{5}$ =5×4×3×2×1=120；满足只有 1 人培训后返回原分公司的情况数为： $C_{5}^{1} \times D_{4} = 45$ (先在5人中任选1人返回原分公司，共有 $C_{5}^{1}$ 种选择；再将剩下 4 人错位排列， $D_{4} = 9$ )。则所求概率 = $\frac{满足要求的情况数}{总的情况数} = \frac{45}{120} = \frac{3}{8} = 37.5$ 。故正确答案为 D。

例8：(2023浙江)某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：

A. 1/5B. 2/7C. 6/35D. 9/35

解析

根据题意，7个车位随机停3辆车，总情况数为 $A_{7}^{3}$ =7×6×5=210种。满足条件的情况为任意两辆车之间至少间隔一个车位，即车辆之间不能相邻，可用插空法。
剩下的7-3=4个车位共形成5个空，停放3辆车，情况数为 $A_{5}^{3}$ =5×4×3=60种。
因此所求概率P=60/210=2/7
故正确答案为B。

例9：(2018河北石家庄事业单位)有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位，问5对夫妻恰好相邻而坐的概率是（）。

A．在1‰到5‰之间
B．在5‰到1%之间
C．超过1%
D．不超过1‰

解析

假设5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐为事件A，则A发生的概率=事件A的情况数/总的情况数。
10个人绕圆桌就餐，这是一个环形排列问题。N个物体排成一个环，那么有 $A_{n - 1}^{n - 1}$ 种可能，所以圆桌的坐法一共有 $A_{9}^{9}$ 种。
让所有的夫妇坐一块，可以将夫妇当成一个整体，相应的两个座位当成一个整体，则有5对夫妇去坐一个五个双人坐的圆桌，所以有 $A_{4}^{4}$ 种情况，而且每个夫妻本身坐法有左右之分，所以每个内部都有2种，5对夫妇每个内部的总顺序为2×2×2×2×2，所以夫妻坐一块一共有 $A_{4}^{4}$ ×32种。
所以概率= $\frac{4 \times 3 \times 2 \times 32}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}$ = 2/945≈2‰。
答案选A。

例10：(2018国家)某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

A．不高于15%
B．高于15%但低于20%
C．正好为20%
D．高于20%

解析

解法一：
1. 从40个座位中选2个座位，由小张和小李随机入座，总的情况数为 $A_{40}^{2}$ =40×39
2. 要让他们恰好坐在同一排，应先从5排中选一排，再从这一排中选2个座位，符合条件的情况为 $C_{5}^{1}$ $A_{8}^{2}$ =5×8×7。满足情况的概率= $\frac{5 \times 8 \times 7}{40 \times 39}$ 约等于18%。
3. 故正确答案为B。
解法二：
1. 同一排同一列可以使用跟屁虫原理。
2. 5排40个座位，每排8个座位。先让第一个人随便坐，假设是小张。
3. 轮到小李坐，一共还有39个座位，但和小张坐在同一排剩余8-1=7个座位，所以概率为7/39 < 20%。
4. 故正确答案为B。

例11：(2025河北36%)一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？

A．25%
B．30%
C．35%
D．高于20%

解析

几何概率。求出 $\frac{白色面积}{正方形面积}$ 即可。
设每个等腰直角三角形的直角边长度为1，可得每个等腰直角三角形的斜边长度为 $\sqrt{2}$ ，则正方形的边长为1+1+ $\sqrt{2}$ ，注意不是3喔，题目是等腰直角三角形，不是等边。
则每个等腰直角三角形的面积=0.5×1×1=0.5，正方形瓷砖的总面积为= $(1 + 1 + \sqrt{2})^{2}$ = $6 + 4 \sqrt{2}$
则概率= $\frac{8 \times 0.5}{6 + 4 \sqrt{2}}$ = $\frac{4}{6 + 4 \times 1.41}$ =34.4%，与C项最接近。
故正确答案为C。

例12：(2024海南)一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？（忽略水管直径）

A．小于0.35
B．在0.35~0.42之间
C．在0.42~0.50之间
D．大于0.50

解析

根据题意，若直角三角形一条直角边为a，a=7米，设另外一条直角边为b，斜边长为c，根据勾股定理可知 $c^{2} - b^{2} = 7^{2}$ ，即（c+b）×（c-b）=49×1，可得：c+b=49······①，c-b=1······②，联立①②两式，解得：b=24米，c=25米。
若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率为 $\frac{斜边}{周长}$ = $\frac{25}{25 + 7 + 24}$ 约等于0.45，在C项范围内。
故正确答案为C。

例13：(2024甘肃)企业将12个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多，且每个团队至少分配1个名额。问有多少种不同的分配方式？

A．6
B．7
C．36
D．42

解析

因情况数较少，可用枚举法。
因要求乙团队分配的培训名额比甲团队少，但比丙团队多。故可得甲团队名额>乙团队名额>丙团队名额。枚举情况如下表：
情况数甲乙丙

① 9 2 1

② 8 3 1

③ 7 4 1

④ 7 3 2

⑤ 6 5 1

⑥ 6 4 2

⑦ 5 4 3
一共7种情况。因此，选择B选项。

情况数	甲	乙	丙
①	9	2	1
②	8	3	1
③	7	4	1
④	7	3	2
⑤	6	5	1
⑥	6	4	2
⑦	5	4	3

例14：(2026联考A类)甲和乙进行7局4胜制的乒乓球比赛，前5局比赛中甲胜了3局，乙胜了2局。已知甲每局获胜的概率均为0.6，问甲最终胜出的概率是乙的多少倍?（）

A．不到4倍
B．6倍以上
C．5-6倍之间
D．4-5倍之间

解析

根据题意，乙每局获胜的概率为 1-0.6=0.4。
当前比分：甲3胜，乙2胜（7局4胜制）。甲再赢1局即获胜，乙需连赢2局。
乙若想最终胜出，则后2局乙均需要胜利，概率 $P_{乙}$ =0.4×0.4=0.16
甲最终胜出的概率：第6局甲胜概率0.6，比赛结束或甲输概率0.4，进入第7局。第7局：甲胜概率0.6。则概率=0.6+0.4×0.6=0.84。或者用逆向思维， $P_{甲}$ =1-0.16=0.84
因此 $\frac{P_{甲}}{P_{乙}}$ =0.84÷0.16=5.25倍，在5-6倍之间。
故正确答案为C。